Упражнение 4. Криви на Безие

1. Дадени са пет контролни точки в равнината: P₀=(0,0), P₁=(0,1/4), P₂=(1/2,1/2), P₃=(1,1/4), P₄=(1,0).      
   1. Запишете уравнението на кривата на Безие C(u), дефинирана чрез дадените точки. 
   2. Намерете точката от кривата, съответна на u = 0,4 чрез параметизацията и чрез алгоритъма на дьо Кастелжо. Начертайте мрежата на дьо Кастелжо с мерна единица 4 см.
   3. Разделете кривата C(u) при u = 0,4 и подредете контролните точки на двете дъги.
   4. Напишете уравнението на кривата C*(u), получена след преместването на P₂ в точка P₂*=(1/2,1/3).
   5. Намерете явен вид на C'(u). Изчислете C'(0,4) по три начина: чрез параметизацията; чрез крайните разлики и чрез алгоритъма на дьо Кастелжо като се използват изчисленията в b.
   6. Кривата на Безие L(u) е определена чрез следните контролни точки: Q₀=(1,0), Q₁=(3/2,-1/2), Q₂=(2,-1), Q₃=(3,0) за u в [1, 3]. Намерете афинно преобразуване на параметъра u* = au+b, такова че u* да принадлежи на [0,1].
   7. Повишете степента на L(u) с единица и изобразете новите контролни точки и новия контролен полигон на получената крива G(u). Променете положението на една контролна точка на G(u), за да намерите крива G*(u), така че кривите C(u) и G*(u) да са C¹-непрекъснати в точката на съединяване (1,0). Изследвайте за C²-, G¹-,  G²- и кривинна непрекъснатост.

2. Дадена е крива на Безие, дефинирана чрез контролните точки:
                   (-1,0), (-3,2), (1,4), (3,2), (-1,-4), (-3,-2).
   1. Намерете точката от кривата, съответна на u = 1/2, чрез алгоритъма на дьо Кастелжо. Начертайте мрежата на дьо Кастелжо с мерна единица 2 см.
   2. Увеличете степента на кривата с единица и намерете новите контролни точки и начертайте новия контролен полигон.

3. След подразделяне на една крива на Безие от степен k в s, получаваме две криви на Безие от степен k, едната върху интервала [0,s], а другата върху [s,1]. Покажете, че тези две криви са C¹-непрекъснати в точката на съединяване.
   Упътване: Да предположим, че последните две контролни точки на кривата върху [0,s] са P_k-1 и P_k, а първите две контролни точки на кривата върху [s,1] са Q₀ и Q₁. Тогава имаме P_k-1, P_k = Q₀ и Q₁ са върху същата права, а отношението на разстоянието от P_k-1 до P_k = Q₀ и разстоянието от P_k = Q₀ до Q₁ е равно на s, съгласно подразделянето. След смяна на параметрите на двете криви, те могат да имат дефиниционен интервал [0;1]. След просто пресмятане се получава желаният резултат.
4. Нека крива на Безие C(u) (съотв. D(u)) от степен n се дефинира чрез контролните точки P₀, P₁, ..., P_n (съотв. O₀, Q₁, ..., Q_n). Ако кривите съвпадат (т.е. C(u) = D(u) за всяко u в [0,1]), тогава съответните контролни точки също съвпадат (т.е. P_i = Q_i за всички l 0 <= i <= n).
   Упътване: Първо покажете, че ако (1-u)A+uB е нулев вектор за всяко u в [0,1], тогава A и B са нулеви вектори. След това, чрез алгоритъма на дьо Кастелжо покажете, че P_i - Q_i е нулев вектор за всички 0 <= i <= n.